2.1.3.3  裂紋尖端張開角

裂紋尖端張開角CTOA（Crack Tip Opening Angle）最早被用來分析核電站管路的穩態裂紋擴展，后來用于輸氣管線和航空工業。如圖2-2，與裂紋張開角COA不同，CTOA對應于一定的斷裂擴展狀態，不隨測量點的位置而改變。CTOA在數學上可以按下式定義：

式中：δ_t為裂紋尖端張開位移，△a為裂紋擴展長度。

2.1.4  材料的動態斷裂韌性

作為材料抵抗動態斷裂能力的度量，引入韌度的概念，稱為動態斷裂韌性。具體材料的韌性值由規定條件下的實驗測定。

表征材料抗力的動態斷裂參數有沖擊斷裂韌性K_Id，動態能量釋放率臨界值G_d，動態J積分臨界值J_d，裂紋尖端張開角臨界值（CTOA)c，甚至包括直接從實驗機上獲得的夏比沖擊功和落錘吸收能量等等，均可以作為判斷裂紋擴展與止裂的參數。工程上如何選用要視具體問題與實驗條件而定。

動態韌性參數除與靜態斷裂韌性同樣與材料性質，環境溫度，應力狀態等因素有關以外，同時還與裂紋速度有關。這是本文關心的問題。

裂紋發生快速運動時，一個高應力集中區被驅動穿過材料，因此裂紋頂端附近的材料產生很高的應變速率或加載速率。在一般情形下，高加載速率使得材料變脆，因而抗力降低：另一方面，隨著裂紋速度的提高，由于裂紋頂端應力場多軸化程度降低，又增強了塑性效應，從而提高了材料的抗力。另外，快速擴展引起的熱耗散使得裂紋頂端附近溫度上升，也會影響材料的抗斷性能。Eftis,Klaft(1965）和Barton,Mall(1960）等的實驗結果表明，動態斷裂韌性由裂紋起始擴展的材料抗力開始下降，當裂紋速度達到一定值時，動態斷裂韌性又隨裂紋速度的增長而提高，表明了前面分析的正確性。

在裂紋穩態擴展階段，CTOA達到臨界值而保持恒定不變，稱作（CTOA）c。(CTOA）c可在小試樣沖擊實驗中測得，并直接應用到全尺寸管道的斷裂上。在描述斷裂性能方面，(CTOA）c是衡量延性斷裂擴展抗力的指標之一，它被認為可以替代夏比沖擊韌性，以解決在高韌性管線上依賴后者而出現的重大偏差。

Kanninen等（1992）認為，對于動態裂紋擴展問題，G_d和（CTOA)c是最適合的斷裂韌性描述參數，如表2-1。

表2-1斷裂力學基本處理方法

問題類型	應用范圍	裂紋驅動力	斷裂韌性
線彈性	小范圍塑性屈服>	K	KC
彈塑性	大范圍塑性屈服，微小裂紋擴展	J	JR
動態非彈性	大變形，裂紋快速長距離擴展	G，CTOA	Gd,(CTOA)c

2.1.5  運動裂紋的止裂判據

含裂紋結構在動載作用下將發生裂紋的起裂和擴展，導致結構破壞或者發生止裂，產生這些過程的條件稱為判據。除了1.2,1節提到過的減壓波速判據及在它基礎上發展起來的雙曲線方法以外，還有應力強度因子K判據，能量釋放率G判據和裂紋尖端張開角CTOA判據等。表2-1同樣給出了參考性意見。

在止裂條件的建立上，存在兩種不同的觀點，即動態觀點和靜態觀點。下面用K判據為例介紹一下兩種觀點的區別和發展，以及本文的選擇。

動態觀點認為，裂紋的快速擴展直至止裂是一個完整的過程，止裂是這種過程的結束，并忽略慣性力的影響。這樣，裂紋持續快速擴展的條件為：

=K_ID（v，T）                  （2-12）

即把裂紋動態擴展斷裂韌度K_ID表示成為裂紋速率v和溫度T的函數。注意這一條件并不適用于起裂時刻，因為K_ID(O，T)不等于靜態韌性K_IC（T）。

按照上面的觀點，從止裂發生的t₀時刻一直到裂紋速度降為零的t_a時刻，均應小于擴展斷裂韌度K_ID（v，T）的最小值，止裂判據表示為：

這樣，通過數值方法解出特定問題的K_I(t)，和材料實驗定出的K_ID（v，T）相比較，可以得到是否滿足止裂條件的結論。

靜態觀點著眼于止裂瞬間的裂紋尖端條件，而不顧及已經發生的裂紋動態擴展過程和歷史。這樣，基于靜態觀點的止裂判據表示為：

≤K_Ia                     （2-14）

式中是對應于止裂長度的靜態應力強度因子，K_Ia是材料的靜態斷裂韌性。

兩種學術觀點的爭論長達二十多年，并都得到了特定條件下實驗結果的證實。直至1985年方達成一致，解釋如下：

引起動態效應的主要原因是由于試樣邊界對應力波的反射，當邊界反射的應力波幾乎不返回到裂紋尖端的情況下，采用靜態觀點相對合適；反之應采用動態止裂分析觀點。這一結論得到了實驗的證明。

壓力管道尤其是高壓輸氣管道上的裂紋擴展是強幾何非線性的過程，同時不斷伴隨應力波的傳播與反射，因而本文在分析裂紋擴展與止裂時用了動裂紋約束的概念（動態觀點）。根據這一概念，裂紋止裂就是使裂紋不能連續擴展�，F將本文用到的以G和CTOA建立的動態判據分述如下：

對于天然氣管道，能量釋放率判據可以表示為:

G(a,p,D,SDR,E)=G_d(T,v,h)                     (2-15)

式（2-15）中，當G_max=G_d時，裂紋擴展；若G<G_dmin，裂紋止裂。G表示裂紋驅動力，G_d表示材料的動態斷裂韌性，a為裂紋長度，p為流體壓力，D為管道直徑，SDR(Standard Dimension Ratio）為管道外直徑與壁厚的比值，E為材料的楊氏模量，T為溫度，v為裂紋擴展速率，h為試樣壁厚。

為了防止裂紋在工程管道上擴展事故的發生，G和G_d的相對值為實際應用準則提供了定量的形式。G來源于對結構模型的分析和計算，而G_d要通過對結構材料的實驗來分析確定。

類似的，在管道延性裂紋擴展過程中，表征裂紋驅動力的（CTOA）_max與表征管壁斷裂韌性（CTOA）c構成止裂判據：

（CTOA）_max（a,p,D,SDR,E）=（CTOA）c（T,v,h）          （2-16）

當（CTOA）_max ≥(CTOA）c時，裂紋擴展；若（CTOA）_max＜(CTOA）c，則裂紋止裂。

2.2  斷裂動力學的有限元法

管道裂紋動態擴展問題的關鍵是正確描述管道的實際工作狀態。斷裂動力學問題的復雜性和目前的研究深度決定了分析解法的求解必須對加載形式、材料參數、裂紋幾何和運動狀態作很多限制，因而本文以有限元方法為主，在表征韌性的參數確定和計算結果參照中引入實驗手段，在試件比擬的塑性區范圍確定等處用到了解析方法。

斷裂動力學中的有限元法分為動力學分析和斷裂分析兩方面。在動力學分析中要考慮材料的慣性效應，在動態變化的載荷下求解運動方程；在斷裂分析方面，要考慮裂紋尖端場的性質，以及裂紋擴展引起的邊界變化等。下面分別從這兩方面介紹本文計算中用到的有限元技術及相關處理方法。

2.2.1  殼體結構動力學基本方程

殼體有限元計算的一般思路是在單元內描述問題，再根據節點集合。在描述幾何方程和運動方程之前，首先說明符號的格式。本節將用到矢量符號、矩陣符號和上下標。矢量符號通過黑體表示，如a，它的分量表示為：ai，也可以以矩陣｛a｝的形式表示。a_iI是節點I的a矢量的第i個分量。

在本節中，將會用到圖2-3所示的三種坐標系：

●空間固定的總體坐標系（x，y，z），或x_i，正交基矢量為。

●節點坐標系行（，，），反映節點的平動與轉動；正交基矢量為b_i。

●單元隨體坐標系（，，）；正交基矢量為e_i。

對于總體坐標系中的任意矢量a，其在節點坐標系中的分量可以表達為：

其中，b_xl，b_yi，b_zl是節點基矢量b_i在總體坐標系中的三個分量。

類似地，對于單元隨體坐標系：

其中[b]^T、[e]^T分別是總體坐標與節點坐標、總體坐標與單元隨體坐標之間的轉換矩陣。

節點J的初始位置為：（i=1，2，3代表x，y，z三個方向的分量），當發生了位移u_iJ后，新的位置坐標為x_iJ。

x_iJ=+u_iJ                                 （2-19）

2.2.1.1  幾何方程

基于Kirchhoff假設的板殼單元，殼體中某一點的應變，，可以由中面應變，，和曲率，，來表示：

其中[N^P]為殼體面內位移形函數，[N^b]為殼體彎曲位移形函數。[δ^P]、[δ^b]是相應的節點位移。

將方程（2-22）代入（2-21），得到

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