2連桿行星齒輪機構位移協調原理的研究
2.1引言
現有機構受力分析主法要求機構滿面足靜定條件，從而可按剛體力學原理進行分析。然而，當機構中存在虛約束時，運動鏈不再滿足靜定條件，機構的受力分析無法則剛體力學的方法完全確定。這種機構稱為靜不定的過約束機構。過約束機構的計算自由度（計入虛約束）小于實際自由度。
對于連桿行星齒輪傳動機構來說，為了克服機構“死點”，一般是采用多相并列雙曲柄平行四邊形機構或多曲柄平行四邊形機構作為輸入機構的。因此，它是多次靜不定的過約束機構。要完全確定機構的約束動反力，必須尋求與其靜不定次數相同數目的位移協調補棄方程。過約束機構的靜不定次數與運動構件數，運動副類型及其數量等有關。對于少齒差連桿行星齒輪傳動機構，由于接觸承載輪齒對數因與載荷 大小，機構的運轉工況角的周期函數。因此，城要增加的機構位移協調方程也是工況角的函數。
建立連桿行星齒輪傳動機構的位移協調節器補充方程時，應根據機構變形幾何條件，求出構件、組合構件、以及機構等到的位移協調關系。由于機構構件之間不可避免的存在著運動副間隙或各種誤差，使具有剛性鏈的連桿行星齒輪過約束機構的動態性能受到很大的影響。因此，在建立機構位移協調節器方程時，應尺可能將這些因素考慮進去。目前，幾乎還沒有人涉及過約束機構領域，對具有誤差、間隙的機構更是無公開文章發表。本章對過約束機構的靜不定次數進行研究，考虎機構間隙（或誤差）的位稱協調關系，進而對連桿行星齒輪機構的位移協調原理進行深入，系統的研究，提出該類傳動機構的位移協調條件。
2.2 過約束機構的靜不定次數
在考慮過約束機構的補充方程時，應首先確定機構的靜不定次數。
對一個任意的空間機構，如果有N個運動構件，就能列出6N個動力分析方程，即可以求解確定6N個未知量。示知量的數量可以由以下兩部分確定：其一是運動副中的約束反力未知分量和反力矩未知分量數；其二是作用在輸入構件上的輸入力或輸入力偶矩。一個運動副如沿某軸線有相對移動自由度，則沿該軸線的約束反力分量為0，如繞某軸線有相對轉動自由度，則沿該軸線的約束反力矩為0。因此，當一運動副的級別為k時，其約束反力的分量數為pk·k，設每一輸入構件作用一輸入力或力矩，則輸入構件上的未知力數為W，因而未知量總為
M=W+Σ5k=1k·Pk （2-1）
當機構是具靜力確定性的靜定系統時，未知量總數應與基本方程式數目相等，即
M=6N （2-2）
W=6N-Σ5k=1k·Pk （2-3）
式（2-3）就是機構的自由度計算公式。
當機構為過約束機構時，未知量總數大于基本方程式數目，即
W+Σ5k=1k·Pk＞6N （2-4）
將上式變為
6N-Σ5k=1k·Pk＜W （2-5）
式（2-5）的左邊為計入所有構件及運動副的計算自由度，右邊W為實際自由度，設守約束機構的靜不定次數為S，由式（2-4）或式（2-5）可得
S=W-(6N-Σ5k=1k·Pk) （2-6）
由此可知，當S=0時為靜定機構，當S＞0時為靜不定機構（過約束機構）。
平面過約束機構的靜不定次數可表示為
S=W-(3N-2P+E) （2-7）
式中P為低副數目，E為高副數目。
若一個多相多曲柄并列連桿行星齒輪傳動機構有m根高速軸、n片行星齒板，第j片行星齒板與輸出外齒輪參加接觸承載的齒對數為Z(j)，則由式（2-7）求得其靜不定次數為
S=1-{3(m+n+1)-2[m(n+1)+1]Σnj=1Z(j)} （2-8）
當m=2時，得多相并列雙軸式的連桿行星齒輪傳動機構的靜不定次數
S=n-2+Σnj=1Z(j) （2-9）
三環減速器的靜不定次數為
S=1+Σ3j=1Z(j) （2-10）
由式（2-8）時，多相并列多曲柄連桿行星齒輪傳動機構的靜不定次數與行星齒板數n、高速數m以及各相齒板與輸出齒輪的接觸承載齒對數Z(j)有關。
2.3 機構構件的位移協調原理
研究連桿行星齒輪過約束機構的位移協調原理，應從構件的位移關系入手。構件上點的位移除變形位移外，組合構件還包括由運動副間隙引起的剛體位移。構件上點的位移關系就是構件滿足的位移協調條件。
2.3.1 單個構件的位移協調原理
設一構件ab在外力作用下，產生微小位移（包含剛體位移和彈性變形位移），如圖2-1所示。
ab為L，與水平坐標軸的夾角為θ0，構件上α、B兩點在受力后移位到a′、b′。
式中u-b、v-b是構件上b點的位移；
ua、va是構件上基點a的位移；
uba、vba是構件上兩點a、b相對變形位移；
θ是構件b點繞基點a的微小角位移。
式（2-17）就是構件上任意兩點的位移協調原理，其意義為構件在外力作用下，產生微小剛體位移和彈性變形位移時，其上某點的位移是所選參考點的位移（平動位移）、與該點繞參考點轉動的角位移以及與考慮點之間的相對變形位移的合位移。
2.3.2組合構件的位移協調原理
由于構件與構件之間存在運動副間隙，因此組合構件上任意兩點之間的位移關系，可能包括有間隙位移在內。
根據式（2-17）及式（2-24）可以對連桿行星齒輪傳動機構的位移協調原理進行研究。
2.4連桿行星齒輪機構的位移協調原理
國科2-3所示為一多相并列連桿行星齒輪過約束機構。為了得到與靜不定次數相對應的S個補充方程，必考慮各構件間、各相機構間、以及多齒承載的位移協調要求，這是分析具有多余聯系體系受力的一般方法。為此，可先將機構轉化為受力、變形等效的結構（幾何不變體系），然后用結構力學的方法分析系統、構件位移協調的條件。
在任意時刻t，用一假想剛性連架桿d（圖中虛線）與輸入高速軸的某相曲柄OA相連，則原機構變成一個幾何不變體系（即承受載荷的，不會產生機械運動的結構）。由此體系沿連架桿方向取∑Fd=0的條件可行Rd=0,即增加連架桿并不影響原機構的受力和變形，只不過為研究各相機構及各構件的變形引起的位移提供了一個相對基準。
2.4.1各構件間的位移協調原理
設多相并列連桿行星齒輪傳動機構在外力作用下，由于運動副間隙及構件的變形，各構件相對其理論位置產生微小位移。取機構的某相子機構為分離體（2-24）用上節介紹的構件位移關系來研究各構件間的位移協調條件。
1.行星齒板上各高速軸孔中心位移
以p點參考點由式（2-17）得
2.偏心套中心位移
由式（2-22）可以將齒板的位移變換為偏心套中心的位移
3.各軸中心位移
各高速軸中心與偏心套中心之間的位移關系為
2.4.2各相機構間的位移協調原理
研究各相機構之間的位稱協調原理，就是找出各相機構之間位移滿足的關系。取整個機構為研究對象，把它看作是具有廣義間隙的多相子機構系統組成的閉環彈性機構。若將各構件用彈簧代替，則該閉環彈性機構可表示為圖2-5所示的彈簧系統模型。圖中各軸是理想的剛性軸。為便于理解可用圖2-6所示的等效并聯平面彈簧系統來表示。
圖中
K(j)i是高速軸i及其軸上的偏心套、軸承等綜合剛度，i=1，2，…，m；
K(j)i-1是高速軸i-1及其軸上的偏心套、軸承等綜合剛度；
K(j)b是齒板的綜合剛度；
K(j)o是輸出軸及軸上齒輪等綜合剛度；
r(j)k是機構中各間隙值，k=1，2，…。
機構的變形主要有各軸的彎曲、扭轉變形、偏心套、軸承、行星齒板及輸出齒輪等的彈性變形。下面用分析彈簧系統變形的方法來尋找各相機構之間的位移關系。
式中△β(j)z0是輸出軸第j相軸段的扭轉角位移。
△β(j)e0齒輪分度誤差。
將式（2-36）及式（2-37）代入式（2-35）就能得到（N-1）m個機構的位移協調補充方程。
2.4.3多齒承載的位移協調原理
在運轉過程中的少齒差連桿行星齒輪傳動裝置，不處于嚙合位置的齒對，在進人嚙合之前及在脫離嚙合之后，其內外齒廓間的間隙非常小。在傳遞載荷過程中，輪齒的變形量要大于一部分齒對的間隙，這些齒對就要接觸并同時分擔載荷，形成多齒接觸承載傳動。在額定載荷下，實際接觸齒數有時候遠大于理論重合度。
在某剛側t，如某相行星齒板與低速軸齒輪實際接觸承載的齒對數為Z(j)，而各對齒對在機構受載前的法向理論間隙為J(j)K，則某對齒沿齒廓的法向總位移為：
δ(j)nk=δ(j)npk+J(j)K （2-38）
式中k=1，2，…，Z(j)；
δ(j)nk是機構受載后某齒對從非接觸狀態到接觸承載，其接觸點的位移；
δ(j)npk是齒對接觸后產生的位移，等于兩接觸齒的變形位移之和：
δ(j)npk=δ(j)nbk+δ(j)nok （2-39）
其中δ(j)nbk是連桿行星齒板總變形引起其上接觸齒接觸點的位移；
δ(j)nok是輸出齒輪接觸齒接觸點的位移。
在多齒接觸區，每對接觸承載齒的法向總位移是相等的，即有
δ(j)npk+J(j)k=C(j)(常數) （2-40）
式中k=1，2，…，Z(j)；
C(j)為各相的常數。
式（2-40）就是少齒差連桿行星齒輪傳動初喲多齒接觸承載的位移協調條件。用于多相并列少齒差連桿行星齒輪傳動機構時，由此消去C(j)后可列出Σni=1(Z(j)-1)個補充方程。
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