2.2.3  數值穩定性分析

在顯式時間積分中，除非時間步長選得足夠小，否則會出現數值不穩定性，從而使計算結果失去意義。盡管對于完全非線性問題，不能進行穩定性分析，但是經驗表明線性分析也會給出有用的時間步長估計。一般說來，將線性穩定的時間步長減少10%到20%，可以克服非線性帶來的不穩定性。

對于中心差分，線性分析表明時間步長

其中，是系統的最高頻率，是最高頻率下的臨界阻尼系數。

ω是下面問題的特征值：

[K]{X}=ω²[M]{X}                    （2-44）

其中[K]是系統的剛度矩陣，[M]是質量矩陣。

在實際計算中，我們并不是直接計算系統的ω_max，而是計算單元的。在所有的單元的中選擇最大值作為ω_max。

對于板單元，有

其中，C_l是平面縱波波速，對四邊形板單元來說，L是短邊的長度。

2.2.4  氣體壓力模式

1.3.3節提到了解耦算法中氣體壓力模式的廣泛應用。對于含裂紋擴展的管道，其內部管壁受到的氣體壓力由兩種模式組成：裂紋前面氣體減壓傳播和裂紋后部的氣體壓力衰減。

Battelle的Maxey等人在實驗中采用壓縮空氣、氮氣以及甲烷含量高的天然氣觀察氣體的減壓行為，發現理想氣體規律足以滿足這些氣體的狀態等式。假設氣體的膨脹過程是等熵過程，充滿氣體的管道突然發生開裂，整個狀態中氣體成分混和均勻，則裂尖附近氣體局部壓力與裂紋擴展速度有如下關系:

式中p_d為減壓后的壓力水平（MPa)；p_i為開裂前管內壓力（MPa)；v為裂紋擴展速度（m/s)；v_a為初始壓力和溫度狀態下的聲速（m/s)；為起始狀態下氣體的絕熱系數，C_P和C_v分別為定壓比熱和定容比熱。

從（2-46）式可以看出，當裂紋在管道上擴展時，裂紋前面的氣體減壓傳播，其數值低于氣體初始壓力值p₀，氣壓減少值主要取決于裂紋的擴展速度，對于穩態擴展的長裂紋，管道內部氣體減壓趨于穩定的數值。

當裂紋沿管壁快速擴展時，裂紋后面的氣體逸出，氣壓降低，但是與液體壓力不同的是，該區域內的氣體壓力并不是立即降為零值，而是穩定地衰減至大氣壓力，并有一段明顯的衰減區。在這一衰減區內，氣體壓力仍然作用在已經開裂的管壁上，加速管壁的變形。

根據實驗給出的實際管道開裂實驗的結果，發展了裂紋后面氣體壓力衰減模式，將氣壓的衰減表示成裂紋位置和初始壓力的函數。常見的衰減模式有指數衰減的Fourier級數和拋物線衰減函數等。

更為簡便的是圖2-5所示的氣體壓力衰減模式是線性衰減函數，圖中以裂紋擴展方向z為橫軸，壓力分布p為縱軸，其計算表達式為

P（z）=P₁（1-），z<L                    （2-47）

式中z是計算截面的位置，L是衰減長度。在計算中，L取1.5倍或2倍的管道外徑。

2.3  管道穩態裂紋擴展問題的數值模擬

本節著重介紹穩態擴展條件下的開裂管道計算結果，力求從多個角度模擬管道變形的真實狀態，為建立止裂判據與后文的減速機理打下基礎。

2.3.1  計算模型與邊界條件

管道上的裂紋一般從起裂點同時向兩側擴展。因管道幾何形狀和載荷分布具有對稱性，本文取一側管道的一半來分析和計算，即四分之一模型，如圖2-6所示。采用四節點板殼單元，沿管道軸向和環向分別劃分網格，在管道內壁給出氣體壓力分布。

在對西氣東輸管道進行計算時，采用的管道模型長度L=37.5m，直徑D=1.016m，厚度h=0.0147m，沿軸向劃分為250個單元，環向劃分為16個單元，共4000個單元，4267個節點，每個四邊形單元軸向長度0.15m，環向長度0.lm。下文如無特殊說明，則網格均按此劃分。

在圖2-7中，C點表示裂尖位置：裂紋沿LINE4擴展，在A、B點和邊界LINEl、LINE2、LINE3和LINE4上施加不同的邊界條件。I、Ⅱ和Ⅲ區代表卸載區、減壓區和裂前區：其中，點A、B和邊界LINEl、LINE2、LINE3是約束邊界條件，C點和邊界LINE4為運動邊界條件。I、Ⅱ及Ⅲ區隨時間而變化。

根據對稱性指定邊界條件如下：

B、F點是固定點；

C點隨時間而變化，AC是自由邊；

邊界LINE1（包括A點）與LINE3上約束了z向的位移和繞x、y軸的轉動；

邊界LINE2上約束x、y向的位移和繞x、z軸的轉動；

邊界LINE4上約束x向的位移和繞y、z軸的轉動。

2.3.2  表征裂紋驅動力的G與CTOA的計算

本節采用節點力釋放法計算裂紋驅動力G。根據（2-38）式，以鋼制管道為例，指定設計參數：直徑為0.72m，壁厚0.015m，管長取37.5m，壓力為0.30MPa,裂紋穩定擴展速度為550m/s。圖2-8給出了程序計算的結果，反映了裂紋驅動力與裂紋擴展距離的變化關系。在這一計算中，裂紋后面壓力衰減長度，即（2-47)式中的L，取為2倍的直徑長度。

如圖2-8，隨著裂紋起裂后的迅速擴展，裂紋驅動力上升直至達到并保持在穩定的數值，這一平臺值1.6KN/m就是裂紋穩態（steady state）擴展的驅動力G。裂紋尖端的移動過程中，G在該值附近有一些小的波動，這是由于裂紋長度的突然增加和位移約束的突然解除，引起的有限元解的高頻振蕩。振蕩的幅度與有限元單元網格的疏密和單元內節點力釋放的指定規律有關。

圖2-9表示了CTOA的計算方法。由于在裂紋后方有很大的非線性變形，計算中張開位移用割線近似，采用8個單元的長度來計算CTOA。這一長度經過與細化后的網格結果比較，誤差在10%之內。

2.4  管道穩態裂紋擴展算例分析

如2.1.2節所述，可在Kanninen（1980）按一維梁模型推導的輸氣管線裂紋擴展極限速度（2-6a）式的基礎上，對高延性管道進行修正。按照西氣東輸管道選用的設計參數，可得到大致的延生斷裂穩態裂紋擴展速度，估算裂紋穩態擴展達到該速度時的裂紋驅動力G和CTOA。另外，通過選用不同的設計參數，可給出穩態裂紋驅動力隨內壓、壁厚、管徑以及徑厚比等參數變化的規律。

2.4.1  西氣東輸設計參數下的典型算例

在這一小節，我們研究的管道參數限于：管道長度L=25m，直徑D=l.016m,內壓10.OMPa，厚度h=0.0147m。網格劃分比2.3.1節中的網格兩個方向各密一倍，即：沿軸向劃分為500個單元，環向劃分為32個單元，共16000個單元，16533個節點，每個四邊形單元軸向長度0.05m，環向長度0.05m。裂紋穩態擴展速度按（2-6b）式，取為216m/s。軸向壓力衰減長度取1.5倍直徑，即約1.5m。

首先觀察裂尖附近的MISES應力分布，如圖2-10。按以針狀鐵素體和塊狀鐵素體組織為主的X70鋼級管線鋼的平均屈服強度500～600MPa估算，計算給出的裂尖前部塑性區長度大約在3個單元長度以內，即0.15m左右。

圖2-11直觀地給出了內壓10MPa，裂紋速度216m/s時一維管道氣體壓力模型（L=1.5D）下的管壁壓力沿軸向的分布。每條曲線的衰減起始點即為該時刻的裂尖位置。圖中裂尖壓力約為6.6MPa。

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