2.3.1  方程數值解法

采用經典的四階Runge-Kutta法或四階的Runge-Kutta-Gill法求方程組的數值解，即可求得齒輪的扭轉振動時程響應。為了保證求解收斂，求解過程中應采用變步長迭代。其計算公式如下：

1.迭代初始值的選取：

有三種方式：

（1）====0，即====0

這種取值方法對求瞬態應較為有利，但計算時間較長時也可求得穩態響應；

（2）和的值根據額定扭矩下求得齒輪扭轉角，和=0的值取額定旋轉角速度，迭代時間很長才能求得穩態響應；

（3）和的值根據額定扭矩下求得齒輪扭轉角，和=0，這種方法可在較短的時間內求得穩態響應。

2.幅值譜計算

在求得了齒輪的時程響應后，經過FFT變換可求得齒輪相對振動的幅值譜。幅值譜計算公式：

3.數值算例

以直齒圓柱齒輪為例（斜齒圓柱齒輪應把齒數Z換成當量齒數Z_V），計算齒輪齒側間隙變化對齒輪振動故障頻率成份的影響以及齒輪工作載荷及轉速的對齒輪振動故障頻率成份的影響。取零初始條件計算。

4.齒輪具體參數如下：

          模數                 m=3mm

          齒數                 Z₁=23，Z₂=45

          分度圓半徑           r₁=34.5mm，r₂=67.5mm

          基圓半徑             r_b1=32.4mm，r_b2=63.4mm

          扭矩                 T₁=63.47Nm，T₂=124.57Nm

          重合度               ε=1.677

          齒寬                 b=20mm

          嚙合剛度諧波項：     K₀=5.6157×10⁸N/m，K₁=1.8107×10⁸N/m，K₂=0.9558×10⁸ N/m，

                               K₃=0.0691×10⁸ N/m

          齒輪當量質量         m₁=0.293kg, m₂=1.216kg

          阻尼系數             C=3275

          齒輪轉動慣量         J_D1=0.000307945kgm²，J_D2=0.004888484kgm²

          電動機轉速           n=960rpm

          齒側間隙             0～0.3mm

2.3.2  考慮齒輪齒側間隙的振動頻譜特征

軸承對箱體動態激勵力和齒輪相對振動位移X=（r_b1tgθ₁-r_b2tgθ₂）有相對振動速度（=r_b1sce²θ₁₁- r_b2sec²θ₂₂）有關，文中只列出的計算結果，圖2-3～圖2-13為各種工況的齒輪故障振動分析，其中包括齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖、齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖和相平面圖。

(l）齒輪工作轉速一定時，齒側間隙的變化對齒輪故障振動頻率的影響：

圖2-3是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、齒側間隙b=0齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當齒側間隙為0時，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh。的1、2、3倍。相平面圖也穩定于一個橢園極限環（見（c）圖）。

圖2-4是工況為：齒輪嚙合頻率為5888Hz、但齒側間隙b＝0.1mm=S_n。（齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當齒側間隙增加到O.lmm時，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍。相平面圖也穩定于一個封閉曲線（見（c）圖）。

圖2-5是工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側間隙增加到b=0.15mm=S_n （齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當齒側間隙繼續增加到0.15mm時，齒輪輪齒相對振動速度波形有較大的變化，此時振動故障頻率成份發生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/3、2/3、3/3、…倍。極限環經過反復振蕩后也穩定于一個封閉曲線（見（c）圖）。

圖2-6對應工況為：齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側間隙增加到b=0.20mmS_n（齒厚）齒輪故障振動分析，其中（a）圖為齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖，(b）圖為齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，當齒側間隙為0.20mm時，齒輪輪齒相對振動速度波形也有較大的變化，振動速度幅值較前面增加了，此時振動故障頻率成份較復雜，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/6、2/6、3/6、…倍。相平面圖趨向于一混沌狀態邊緣（見（c）圖）。

圖2-7是當齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側間隙增加到b=0.25mm=S_n（齒厚）時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖（（a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出，當齒側間隙增加到0.25mm時，此時振動故障頻率成份又發生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的l/12、2/12、3/12、…倍。

圖2-8中，(a）圖和（b）圖分別是當齒輪嚙合頻率仍為5888Hz、但齒側間隙增加到b=0.3OmmS_n（齒厚）時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，當齒側間隙為0.30mm時，此時振動故障頻率成份也發生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/5、2/5、3/5、…倍。

總之，齒側間隙的變化對齒輪故障振動頻率有很大的影響。

(2）工作轉速對齒輪振動故障頻率的影響（此時設齒側間隙b=0.2mm):

圖2-9是當齒輪嚙合頻率為1300Hz、齒側間隙b=0.2mm時，齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖（(a）圖）和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖（(b）圖）。從（b）圖上可看出，當齒側間隙為0.2mm時，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍，分數諧波不明顯。

圖2-10中，(a）圖和（b）圖分別是當齒輪嚙合頻率增加到4000Hz、齒側間隙增加到b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，此時振動故障頻率仍為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍，分數諧波也不明顯，但2f_meh的幅值比1f_meh的大。

圖2-11中，(a）圖和（b）圖分別是當齒輪嚙合頻率為5000Hz、齒側間隙b=0.2mm時齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從（b）圖上可看出，此時振動故障頻率發生了改變，振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/13、2/13、3/13倍，明顯出現分數諧波。

(3）工作載荷幅值的變化對齒輪振動故障頻率的影響：

圖2-4（b）是輕載時（小的齒側間隙）齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍，無分數諧波成份出現。

圖2-12是中載、齒側間隙增大時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的1/6、2/6、3/6、…倍，分數諧波成份明顯。

圖2-13是更大的載荷（齒側間隙保持不變）時齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率為齒輪嚙合頻率f_meh的l/4、2/4、3/4、…倍，分數諧波成份非常明顯�？煽闯龇蔷�性時變系統與線性時變系統和線性系統的齒輪振動故障頻率有很大的不同。

2.4  考慮齒輪偏心的振動頻譜特征

當只考慮齒輪扭轉振動而不考慮齒輪及軸的橫向振動時，以往研究都沒有考慮到齒輪偏心質量對齒輪扭轉振動的影響，實際上這個影響是存在的。不考慮齒側間隙時，P_n �。�2-2）式，代入式（2-13）可得單級齒輪系統帶偏心質量的振動微分方程：

由于θ，，前面的系數和時變剛度K(t）及θ，，有關，不是常數，故方程組（2-14)也是一個非線性時變方程組。

采用變步長R-K方法解方程組（2-20），得到齒輪相對振動位移、速度時程響應，如對這時域信號進行FFT變換，就可得到幅值譜。圖2-14(a）、2-14(b）分別是考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心的齒輪振動位移、速度比較圖。從圖上可看出，考慮齒輪偏心與不考慮齒輪偏心在齒輪振動位移、速度的幅值上是有差別的，前者比后者在最大幅值處大5%左右；兩者在振動位移、速度的相位上無差別。圖2-15(a）、圖2-15(b）是齒輪輪齒相對振動速度時程響應圖和齒輪輪齒相對振動速度幅值譜圖。從圖上可看出，此時振動故障頻率發生了改變，振動故障頻率除了齒輪嚙合頻率f_meh的1、2、3倍外，還有齒輪所在軸的軸頻。

根據前面的分析結果，我們可認為在分析齒輪的扭轉振動故障頻率時，由于齒輪輪齒的動力藕合，必須考慮齒輪的偏心質量的影響。

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