第三章  有限元基礎

3.1  線性有限元

線性有限元涉及的固體力學是建立在本構方程、幾何方程、以及平衡方程三個方程基礎之上的。由此導出的控制方程反映了結構真實受載后的運動狀態。在許多場合可將本構與幾何運動方程處理成線性，進而使控制方程線性化（如疊片在離心與扭轉載荷下的強度計算）。

3.1.1  本構方程

建立本構方程時應考慮應力、應變兩物理參數，且兩者呈線性，這就是虎克定律。

對各項同性材料而言，彈性矩陣[C]為：

 

3.1.2  幾何方程

小變形情況下的幾何關系為：

而對于旋轉體（軸對稱實體），用極坐標取代直角坐標可表達成：

3.1.3  平衡方程

在有限元法分析中，認為單元與單元之間僅通過節點相互連接，單元與單元之間的相互作用力是通過節點來傳遞的，并以節點處力的平衡條件來建立平衡方程。

作用在單元邊界上的集中力寫成通式為

APOLANS是以位移為有限元控制方程的基本未知量的位移模式有限元法，在此模型下，虛功原理轉變為總位能原理：在一個物體上，滿足位移協調以及位移與運動邊界條件的所有位移形式中，滿足平衡條件的位移形式使總位能取最小值。

設變形體總位能∏為：

∏=U-W

其中U是變形能，W是外力功

在此需指出，有限元法不尋求在結構整個域上連續的位移函數，而是尋找各個子域（單元）上，滿足域內及域界連續的位移函數，亦即對各單元而言，設{q}為節點位移未知量，（板元中還對應節點的轉動）在單元內部和邊界上，假設滿足位移協調條件的插值函數N，于是體內位移u為：

{u}=[N]{q}

代入式（3.1.3）由此推出應變與節點位移關系：

{ε}=[△]^T[T]{q}

    =[B] {q}

[△]為（3.1.3）中微分算子組成的矩陣，[B]為應變、位移關系矩陣，由總位能原理得：

δ∏=δU-δW

其中

由此推出

對{δq}的任何分量，總位能原理總能成立，所以在整個域中對所有單元求和，有

[K]{q}={F_V}+{F_S}-{F_I}+{F_R}

其中[K]為整體剛度陣,右邊第一、二、三、四項分別為作用于節點上的當量體力、表面力、初應力和節點集中力，由此靜態有限元平衡方程是個系數高度稀疏的大型聯立方程，一旦解得位移{q}，就可運用公式求得體內各節點的位移，應變和應力。

3.1.4  等參單元

等參元是直接通過插值函數，將節點位移與單元內各點位移連接起來，不再去求解多項式廣義坐標與節點坐標的關聯矩陣，而是將一些任意形狀的單元用自然坐標進行變換以達到規則的形狀（如正三角形、正六面體等），對各種規則形狀的單元給予同一的插值函數，然后在規則區域內進行積分，其基本過程為用單元的局部坐標系表示的插值函數來表示元素坐標與廣義位移，以插值函數來近似單元內部的真實位移變化，必須保證剛體位移和常應變，并使單元邊界上是協調的，為保證精度，表達式應對每個坐標力求對稱。

等參三維元的插值函數為（8——20應點）

    N₁=g₁-(g₉+g₁₂+g₁₇)/2

    N₂=g₂-(g₉+g₁₀+g₁₈)/2

    N₃=g₃-(g₁₀+g₁₁+g₁₉)/2

    N₄=g₄-(g₁₁+g₁₂+g₂₀)/2

    N₅=g₅-(g₁₃+g₁₆+g₁₇)/2

    N₆=g₆-(g₁₃+g₁₄+g₁₈)/2

    N₇=g₇-(g₁₄+g₁₅+g₁₉)/2

    N₈=g₈-(g₁₅+g₁₆+g₂₀)/2

    N_j=g_j

(對于j=9.....20，)

當不包括I節點時，

g_i=0          否則

g_i=G（r,r_i）G(s,s_i)G(t,t_i)

G（β，β_i）=(1-β²)      對于β_i=0

G（β，β_i）=（1+β_iβ）    對于β_i=±1

其中β=r,s,t

維變形狀態下，根據幾何關系、應變列陣為：

這里{u^k}_e為單元節點位移列陣

[B]為應變矩陣，其中第i個子矩陣為

單元剛度矩陣為：

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