單元剛度陣中dV=∣J∣dξdηdζ，所以在局部坐標系ξηζ內積分式（3.1.6），可采用三維高斯求積公式：

3.2  幾何非線性有限元法

當薄板、殼等物體受到載荷，位移與應變關系不可用線性來描述，而且應變超過10％以上時，必須采用大應變理論。因此考慮位移與應變的非線性關系或采用大應變理論均為幾何非線性問題。

3.2.1  物體變形和運動的描述

從變形的角度來說，物體的變形過程實際上是從一種圖形變換到另一種圖形的過程，由于物體是由質點所組成的，物體的形狀可以用質點間的相互位置來表示。

質點p在時間t=0時刻的位置坐標為x_i（i=1，2，3），在t=t時刻質點移到另一位置上，由于質點間的相互位置關系發生了變化，物體因而改變了形狀，這時p點的位置坐標為

x_i（i=1，2，3）它是xi與時間的函數

X_i=X_i(x_i,t)    （i=1，2，3）            (3.2.1)

對于變形體及其上的質點運動狀態，可以隨不同坐標選取法有多種描述方法：

(1)參照描述（拉格朗日法）獨立變量為任意選擇的參照構形中質點P的當前坐標與時間t，其中參照構形的選擇是任意的，而且不影響計算結果。

(2)空間描述（歐拉描述）：獨立變量是質點P當前位置n+1_x與時間隔n+1_t,其研究方式不是跟隨著運動的質點研究其運動狀態，而是研究不同的質點。

(3)物質描述：獨立變量為x_i與（i=1，2，3）即給出任意時刻物體中各個質點的位置，這種方法很少用于有限元法中。

經過空間某一點時的狀態。

(4)更新的拉格朗日法：在物體運動的整個過程中，如果從零時刻到t時刻的所有力學量是已知的，度量t+△t時刻各個力學量的參考坐標是以t時刻的坐標來描述，也就是說在某一時刻物體的力學量，都以它的前一個時刻的坐標系來描述的。

由于拉格朗日描述在大應變時非彈性本構關系不易引入，其適應于大位移，中等轉動和小應變情況以及線性、以及非線性屈曲，因此本文僅討論全拉格朗日法(T.L法)的情形。

3.2.2  完全拉格朗日（T.L）公式

以t=0時刻為基準描述物體在t+△t時刻的平衡，在平衡方程中采用格林—拉格朗日應變分量 以及克�；舴驈埩縯+Δt_Sij,

上式是將t+△t時刻的應力、應變、位移看成t時刻已知的應力、應變、位移和未知增量應力{0^S}，應變{0^ε}，位移{0^u}之和，進一步，增量應變{0^ε}可用線性部分即{o^ε}={o^e}+{o^η}

0^eij中只含有未知增量位移的一次方項，而0^ηij中含有未知增量位移二次方項，所以非線性主要體現在0^ηij中

由于0^tu及0^tε已知，利用式（3.2.5）(3.2.6)可行

式（3.2.2）可寫為：

上式為T.L描述的增量形式的虛功方程，左邊第一項為增量應力在增量虛應變上做的虛功，左邊第二項為t時刻的總應力在非線性部分虛應變上的虛功。右邊第二項為t刻的總應力在線性部份慮應變上的虛功。 右邊第一項t+△t₀W為外力做的虛功。

式（3.4.16）是包含了未知量的高次項，是一個非線性方程。由于采用了增量加載，對每一個增量加載段，當作線性問題處理，即采用分級線性化來求解。為此可近似取應變的線性部分來代替全部應變，即：

只要加載步長分得很小，這種代替引起的誤差將不會很大，同時這種誤差還可以在求解過程中由平衡迭代來修正。

將式（3.4.17）代入式（3.4.16）求得非線性虛功方程

上式在有限元中將物體離散為有限個單元的集合體時可為：

{}e表示此量是屬于單元的。

式（3.4.14）(3.4.19)為增量形式的完全拉格朗日（T.L）方程。

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