第四章  接觸狀態下疊片的強度分析

4.1  接觸問題

接觸問題是一類非線性問題，它屬于邊界條件非線性問題，在接觸問題中邊界條件不是在計算開始前就可給出，它們是計算結果，兩接觸體間接觸面的面積與壓力分布隨外載變化而變化并與接觸體的剛性有關，這是接觸問題的特點，也是它的難點。

為了求解接觸問題，必須解決四方面問題：

（1）物理模型：采用什么樣的模型來描述兩接觸體之間的傳遞以及在不同載荷下接觸狀態的變化。

（2）幾何運動規律：在接觸面上兩物體位移必須滿足的條件。

（3）本構規律：在接觸面上力與位移或壓力與切向力之間關系。

（4）建立方程與求解的方法：如何建立數學方程描述以上各規律并使系統處于平衡以及如何求解該方程。

APOLANS采用了點面接觸的力學模型，當兩物體相互接觸時。為了方便指定其中之一為主動體（contact body or master body,它不允許是剛體），另一物體為被動體（target body or slave body它可為剛體）。它的出發點是研究主動體一個接觸節點與被動體而元上任何一點相接觸時的情況，以此建立力學計算模型。

在建立接觸控制方程時，采用了如下一些基本條件與假設：

1）主動體內任何節點不允許在被動體內，但被動體的某些節點允許在主動體內，

2）兩接觸體在接觸面上的接觸力靜力相等

3）對于每個物體，支反力必須與外力、慣性力、接觸力相平衡

4）仍采用庫侖磨擦定律，靜與動磨擦系數可采用不同的值

在對疊片進行接觸表面離散化，確定下接觸邊界條件，然后由帶接觸邊界變形協調的變分原理出發，建立整個接觸系統的控制方程。求解控制方程并由接觸面上節點的平衡得到節點的接觸力，由節點接觸力求出接觸表面。單元上的當量分布力并進而求出單元合力，由單元合力判斷兩接觸表面單元的接觸情況，再進一步判斷主動網格節點的接觸狀態，根據新的接觸狀態修正控制方程，如果判斷尚未收斂，對新的控制方程重復上述過程，反復迭代，直至收斂。

4.1.1  接觸體的物理模型

一、表面離散比

由于APOLANS 程序所使用的為接觸面與接觸面對為對象建立的計算模型。一個主動體上的節點可能在被動體的接觸面上任意點處與之接觸，在有限元中則需把所有連續分布的參量離散化并等價到網格節點上，因此需對被動接觸面上的實際接觸點的坐標及位移值進行插值。

上圖為三維狀態下的接觸表面離散化，由于采用了線性等參插值，表面單元為4節點等參元。主動體一節點k可能在被動體上任意一點p 與之接觸，p 點坐標、位移、當量力等均應按有限元網格各節點值表示，被動接觸面的一個四邊形單元假定由四個具有共同頂點O （局部坐標r=O 、s= 0）的三角形所組成。在ABC 三角形內一點P的面積（自然）坐標。

式中x 為總體坐標，下標A 、B 、C 、D 分別代表單元四個角點，P 表示被動體實際接觸點α,β,γ為三角形面積坐標，t＋△t表示求解時刻。

二、接觸邊界協調條件

兩物體接觸可能出現三種狀態：

（1）粘式：兩物體接觸的點無相對運動，變形前后接觸點的局部坐標值相同。

（2）滑移：兩物體相接觸，但變形后接觸點間沿接觸面切向有相對運動，沿接觸面法線方向兩接觸點坐標相同。

（3）開式：兩物體某些表面未接觸，但隨物體變形可能會接觸或已接觸的部位隨物體變形而脫離接觸，此時接觸約束釋放。

在一個接觸面對中，不同部位可能有不同接觸狀態，因而有不同的變形一致條件。

由上圖，在粘式情況下在接觸邊界上變形一致條件：

l+△t_△k(l)= l+△t_xk(l)+ l+△t_xp(l)          （4.1.2a）

△k^（1）為主動接觸點k 處的材料重疊矢量

對于滑移情況，沿被動接觸元法線方向主動接觸節點k 與被動接觸點p 坐標應相同而切線方向有相對運動。

n^T_J△k=n^T_J(l+△t_xk^(l)-l+△t_xp^(l))        (4.1.2b)

n 為接觸單元局部坐標的單位矢量，T為轉釋符號。

即僅有一個自由度受變形一致條件約束，于是前兩式可合成為下式：

對于開式情況不存在變形一致條件。

4.1.2  考慮接觸邊界條件的約束變分原理及系統的控制方程

一、約束變分原理

考慮接觸邊界條件時的虛功原理為：

系統的總虛功取極值

在S_σ力邊界上，滿足靜力邊界條件

T_l=                        (4.1.4)

上式右邊為外力，左邊為i點從內力并滿足

T_l=σ_ijn_j                     (4.1.5)

在幾何邊界S_H上滿足位移邊界條件

u_i=                         (4.1.6)

上式右邊為外加指定位移。

對于接觸而言還應滿足：在接觸邊界上滿足式（4.1.2）的協調條件：

C_T=(X_K⁽ⁱ⁾-x_p⁽ⁱ⁾-Δk⁽ⁱ⁾)=0                 (4.1.7)

將式（4.1.7）的約束條件用拉格日法代入式（4.1.3）構成修正的勢能，然后取級駐值，這樣修正后的泛函為：

Π_mp=Π-Π_c                     (4.1.8)s

Πc =               (4.1.9)

其中λ為拉式乘子，Σ表示對所有主動接觸節點求和，

對修正勢能Π_mp求駐值

δΠ_mp=δΠ-δΠ_c              (4.1.10)

由此可得控制方程，其中右邊第二項為接觸狀態下控制方程補充項，由于討論問題的非線性性質，宜采用增量形式的變分原理。設t時刻系統的狀態己知，求解的目的是求t＋△t時刻系統各物理參數值。

則增量形式表達式t＋△t第i+1次迭代

式中△u_p⁽ⁱ⁺¹⁾, △q_k⁽ⁱ⁺¹⁾表示第i+1迭代步P點及R點位移增量，由式(4.1.11)(4.1.12)得

C_l^T△u_p⁽ⁱ⁺¹⁾= C_l^T(△k⁽ⁱ⁾+ △q_k⁽ⁱ⁺¹⁾)             (4.1.14)

此式即為增量形式接觸面變形協調條件表達式。

二．接觸勢能及接觸項導出

一）粘式接觸下的接觸勢

在i+1步k節點與被動體粘式接觸情況下，k與p點坐標應相同

1+△t_xk⁽ⁱ⁺¹⁾=1+△t_xp⁽ⁱ⁺¹⁾             (4.1.15)

將式（4.1.1）代入式（4.1.2得）

上式為三維粘式接觸的位移協調條件增量形式。

按式（4.1.9）引入拉氏乘子，

λ_r⁽ⁱ⁺¹⁾= λ_r⁽ⁱ⁾+ △λ_k⁽ⁱ⁺¹⁾            (4.1.17)

上式代入（4.1.9）并取變分得

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