二）摩擦滑移接觸下的接觸勢

與二維情況相同，此時被動接觸面上的實(shí)際接觸點(diǎn)p 的相對位置在不同迭代時是移動的，即i+1時的α,β與i時的相比較有一增量的。為簡化方程和對稱的目的。建立Πc時忽略i+1時的相對小量△α，△β，△γ，

對于磨擦滑移接觸，接觸面變形一致條件是在主動接觸節(jié)點(diǎn)k處沿被動表面法線方向變形一致，則得

式中n_j表示與k主動接觸節(jié)點(diǎn)相接觸的被動接觸面第j個單元的單位法線矢量將上式代入（4.1.9) ，并利用下式

三、接觸控制方程

將式（4.1.19）（4.1.21）代入式（4.1.10 ) ，通過有限元常用的推導(dǎo)過程可得帶有接觸分析的最后控制方程

方程總維數(shù)應(yīng)為各接觸體位移自由度數(shù)加上主動體接觸點(diǎn)獨(dú)立接觸力數(shù)，當(dāng)該點(diǎn)為粘式接觸時，一個主動體接觸點(diǎn)的接觸力數(shù)與位移自由度數(shù)一致，當(dāng)為滑移接觸時，一個主動體接觸點(diǎn)僅有一個未知接觸力。

其中對粘式接觸，一個主動接觸點(diǎn)k:

[I]是3*3階單位矩陣，第i+1步求解矢量為：

2.滑移接觸，對一個主動接觸點(diǎn)K：

求解矢量

[△q⁽ⁱ⁺¹⁾△λ⁽ⁱ⁺¹⁾]_1×18=[{ △q_k⁽ⁱ⁺¹⁾}^T{△q_A⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_B⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_C⁽ⁱ⁺¹⁾}{ △q_D⁽ⁱ⁺¹⁾}^T{△λ_k⁽ⁱ⁺¹⁾}]      (4.1.29)

基中λ_l, △λ_l分別為沿接觸面法線方向的接觸力及其增量。

4.1.3  接觸條件的判斷、修正

由接觸控制方程（4.1.22）可解得i+1步接觸力與各節(jié)點(diǎn)上位移，此時必須判斷各節(jié)點(diǎn)處于哪種接觸狀態(tài)，如前后兩步接觸狀態(tài)不同，則要修正i+1 步的接觸條件。即以（4.1.22）式求得接觸節(jié)點(diǎn)力后，按插值函數(shù)求得等價的接觸單元分布力，進(jìn)而求出接觸單元的合力以判斷接觸狀態(tài)，再以接觸面上一節(jié)點(diǎn)周圍各單元接觸情況判斷該節(jié)點(diǎn)接觸狀態(tài)，據(jù)此來修改控制方程，進(jìn)行新的迭代，直到收斂。

對于主動接觸面上第k個節(jié)點(diǎn)的接觸力增量可由節(jié)點(diǎn)平衡條件求出

{△R_k⁽ⁱ⁾}=[M]{q_k⁽ⁱ⁾}+[D]{q⁽ⁱ⁾}-{F_K}-{T_K}+(P_K⁽ⁱ⁾)      (4.1.30)

所有主動體上接觸節(jié)點(diǎn)的接觸力總矢量為

{△R⁽ⁱ⁾}=            （4.1.31）

一、接觸元接觸面上分布力及合力

根據(jù)等參元原理，當(dāng)量接觸節(jié)點(diǎn)力△R與接觸分布力在高斯積分點(diǎn)上的值t_ij有如下關(guān)系

[△R]=[N_η]^T(diag[α|J|])[l_η]           (4.1.32)

其中α為積分權(quán)系數(shù)，在2*2 階積分中等于1.0,N_ij為插值函數(shù)在積分樣點(diǎn)r₁,s_J處的值|J|為雅可比行列式

上圖所示三維接觸體的一個接觸面及分布力

而分布力在接觸元四個角點(diǎn)的值與高斯點(diǎn)上的值的插值關(guān)系為：

矩陣內(nèi)項表示分布力在單元角點(diǎn)l,m,n,k上沿x,y ,z的分量。對于一個單元有

[ΔR]_e=[N_η]_e^T(diag[α|J|])[N_η]_e[tl]_e           (4.1.36)

而總方程為

[ΔR]=          (4.1.37)

[G]是對稱的，求解上式可得接觸元分布力

第j 個單元的總的合力可由有限元基本方程得出

{T^J}_3×1=（[H][l_J]）^T

其中

合力的法線矢量為

{T_n^J}=[{T^J}^T{n_J]{n_J}

{n｝為接觸面元的法線方向余弦。合力切線矢量為

{T_l^J}={T^J}-{T_n^J}

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