第五章  疊片聯(lián)軸器的振動特性分析

5.1  振動分析的有限元法

5.1.1  振動方程

各自由度系統(tǒng)振動方程的矩陣表達(dá)式為：

[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={P}                        (5.1.1)

其中[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，{P}為各載荷矢量之和，[K]為剛度陣

[M]=

[C]=

上式右邊d為各單元阻尼系數(shù)

式（5.1.1）又分以下幾種情況：

(1)多自由度無阻尼自由振動

[M]{x}+[K]{X}=0                        (5.1.2)

(2)多自由度有阻尼自由振動

[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}=0                 (5.1.3)

(3)多自由度無阻尼受迫振動

[M]{x}+[K]{x}={P}                      （5.1.4）

(4)多自由度有阻尼受迫振動

[M]{x}+[C]{x}+[K]{x}={P}                  （5.1.5）

5.1.2  多自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型

我們通過求解系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程，可以求得系統(tǒng)的固有頻率。

多自由度無阻尼自由振動微分方程式為：

[M]{x}+[K]{x}=0                  （5.1.6）

設(shè)上列方程的解為：{x}={A}e^iωnt                 （5.1.7）

式中，{A}是系統(tǒng)自由振動時，各坐標(biāo)上的振幅組成的列陣，稱為振幅向量，即

又因為

{x}={A}^iωNt(i^ω_N)                  (5.1.9)

{x}={A}^iωNt(-ω_N²)                  (5.1.10)

式（5.1.10）連同式（5.1.7）代入式（5.1.6），簡化后得

（[K]- ω_N²[m]）{A}={0}]                  (5.1.11)

解該方程即轉(zhuǎn)為求特征值問題。

{A}要有非零解，則{A}的系數(shù)行列式必須為零：

Δ(ω_N²)=det[K] - ω_N²[m]=0                  (5.1.12)

即

式（5.1.12）(5.1.13)都稱為系統(tǒng)的特征方程或頻率方程，將其展開后可得到（ω_n）²的n次代數(shù)方程式：

ω_N²ⁿ + a₁ω_N^2(n-1) + a₂ω_N^2(n-2) + A + a_n-1ω_N²+ a_n=0                  （5.1.14）

 

式中系數(shù)a都是k_ij與m_ij的組合。

對于一個n個自由度的系統(tǒng)，求解特征方程后可得到(ω_n)²的n個正實根，即為方程的n個特征值，也是系統(tǒng)多階固有頻率的平方值。將這n個固有頻率由小到大按次序排列，分別稱之為一階固有頻率（基頻）、二階固有頻率……n階有頻率，即0＜ω_n1＜ω_n2……＜ω_nn

于是方程（5.1.14）可寫為：

（ω₂-ω_n1²）（ω²-ω_n2²）……（ω²-ω_nn²）=0                 （5.1.15）

或

ω²ⁿ-(ω_n1²+ω_n2²……ω_nn²) ω^2(n-1)+……(-1)ⁿω_n1²……ω_nn²=0      （5.1.16）

求得各階固有頻率ω_ni后，將方程5.1.6劃去其中不獨立的某一式，并將剩下的n-1個方程中的某一相同的A_i項（這里取最后一項），移到等式右邊，把某一ω_nj²的值代入ω²后，得如下方程組：

這樣可對A₁^（r）A₂^（r）……A_n-1^（r）求解，顯然，A_j^（r）與A_n^（r）成正比，于是得出固有頻率ω_j與振幅值A(chǔ)₁^（r）A₂^（r）……A_n^（r）之間的振幅比關(guān)系。

顯然，這一振幅比表示了系統(tǒng)按第r階固有頻率作振動時的振動形態(tài)。我們把由這n個具有確定的相對比值的振幅所組成的列陣稱為系統(tǒng)的第r階主振型即：

將系統(tǒng)的各階固有頻率依次代入5.1.11，可得系統(tǒng)的第一、二……n階主振型。

n個自由度的系統(tǒng)就有n個固有頻率和主振型。

5.1.3  幾何非線性對結(jié)構(gòu)剛度的影響

按全拉格朗目列式法（TL法）的公式：

（[K]₀+[K]_σ+[K]_L）{Δq}=[K]_r{Δq }={F}+{T}-{P}        (5.1.18)

其中，{F}、{T}、{P}分別為體力、面力、以及應(yīng)力在節(jié)點上的等價合力，而

對式5.1.18，我們將等號左端三個矩陣的各用[K]_T表示，稱切線剛度陣，它表示了載荷增量與位移增量之間的關(guān)系。

另外，[K]₀為常規(guī)有限元法中的剛度矩陣，但材料陣[C]卻為t時刻的材料剛度陣，其本構(gòu)關(guān)系為：

Δ0^S_ij=0^C_ijlmΔ0^E_ij                (5.1.22)

其中0^C_ijlm為增量材料性質(zhì)張量。

[K]₀的求值并無困難，[K]_σ稱初應(yīng)力或幾何剛度陣，它表示在大變形情況下初應(yīng)力對結(jié)構(gòu)剛度的影響，它未明顯含有位移增量，但S_ij是Δq的函數(shù)，因此[K]_σ是變量Δq的隱函數(shù)，對于[K]_σ，當(dāng)應(yīng)力為拉應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)的剛度提高，當(dāng)應(yīng)力為壓應(yīng)力時，結(jié)構(gòu)的剛度減小。[K]_L稱為初位移剛度陣或大位移剛度陣，是由大位移引起的結(jié)構(gòu)剛度變化，是Δq的一階和二階函數(shù)。由公式5.1.19～5.1.21可見三個剛度都是對稱的，因而切向剛度陣[K]_r也是對稱的。（以上考慮慣性力帶來的影響）。

對于公5.1.22如果是小應(yīng)變問題，該公式可由材料實驗得到，但對于格林應(yīng)力與克希霍夫有限應(yīng)變而言卻不是一件易事。

因此，按照幾何非線性理論，結(jié)構(gòu)剛度不但取決于結(jié)構(gòu)材料與初始構(gòu)形，而且很大程度上取決于受載后的應(yīng)力分布（[K]_σ）、位移（[K]_L），剛度是隨受載情況而變化的。反映在實際工程中，則有轉(zhuǎn)動結(jié)構(gòu)的動態(tài)頻率高于靜態(tài)頻率的現(xiàn)象。

對靜態(tài)問題，求解以下特征方程可得到頻率及對應(yīng)的模態(tài)：

（[K]-λ[M]）{q}=0               (5.1.23)

這是一個廣義特征值問題，如何得到所需各階的頻率與對應(yīng)模態(tài)稍后再述，這里要說明的是結(jié)構(gòu)材料與構(gòu)形決定后，[K]與[M]不隨外載變化，因而頻率是固定的。

對動態(tài)頻率而言，如果按幾何非線性理論，應(yīng)求解如下特征值方程：

（[K]_T-λ[M]）{Δq}=0               (5.1.24)

其中對T，L法有

[K]_r=0^[K]₀ + 0^[K]_σ + 0^[K]_L

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