5.1.4  特征值問題

5.1.4.1  模態矩陣

由于主振型對質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]都具有正交性，因此主振型組成的矩陣作為線性變換矩陣，對系統的原方程進行坐標變換，可以使[M]和[K]同時對角線化，這里由系統的n個主振型（即主模態）按階次排列成一個n階方陣稱為橫態矩陣（或振型矩陣），以[φ]表示：

已知以系統的廣義坐標{x}表示的原運動方程為：

[M]{x}+[K]{x}={P}

現以模態矩陣[φ]對上式作線性變換：

{x}=[φ]{q}

{x}=[φ]{q}

所以在新的廣義坐標{q}表示的系統運動方程為：

[φ]^T[M][φ]{q}+[φ]^T[K][φ]{q}=[φ]^T]{q}            (5.1.26)

[M]{q}+[K]{x}={}                                  (5.1.27)

上式即為系統的模態方程。

式中：[M]= [φ]^T[M][φ]        稱為模態質量矩陣

      [K]= [φ]^T[K][φ]       稱為模態剛度矩陣

對于[M]、[K]，所有非對角線上的元素都符合主振型對質量矩陣和剛度矩陣的正交性，所以：

式中：

M_r={A^(r)}^T[m]{A^(r)}       (r=1,2,……n)稱為r階模態質量

K_r={A^(r)}^T[K]{A^(r)}       (r=1,2,……n)稱為r階模態剛度

對于同一階模態的模態質量和模態剛度：

將各階固有頻率和相應的主振型代入系統的特征值問題公式：

將式5.1.30左乘[φ]^T得：

[φ]^T[K][φ]^T=[φ]^T[m][ φ][ω_n²]       （5.1.31）

即[K]=[M][ω_n²]

或K_r=M_r⁽ⁱ⁾nr²                (r=1,2……n)                       （5.1.32）

即ω_m²=K_r/M_r                (r=1，2……n)                        (5.1.33)

上式表明，第r階有頻率平方的值ω_nr²等于第r階模態剛度K_r與第r階模態質量M_r的比值，由此可見，系統固有頻率隨剛度和質量變化的趨勢，即當系統的剛度增加時，模態剛度K_r值隨之增加，則ω_nr²值也增加，即固有頻率值提高，反之剛固有頻率值降低。而當系統的質量增加，模態質量M_r增加，則ω_nr²減少，即固有頻率值降低，反之，固有頻率值提高。

5.2  特征問題解法

對于廣義特征問題：

[K]{q}=λ[M]{q}                   (5.1.34)

其中[K]、[M]分別為結構的剛度和質量矩陣，{q}為位移列矢量，有時在工程上判定剛度矩陣[K]的正定性十分重要，則要對應下列標準特征問題：

[K]{q}=λ{q}                   （5.1.35）

對式5.1.35，若λ_i，則矩陣是正定的：

若λ_i，則矩軸是半正定的；

若有λ_i＜0，也有λ_i＞0，則矩陣是不定的。

對于剛度矩陣[K]來說，特征值等于0時，說明系統中存在著剛體位移，系統未被完全約束住，0的數目等于系統中剛體位移的數目。一般來講，在進行結構靜力、動力分析時，[K]都為實對稱、正定矩陣，質量矩陣[M]常常是半正定的，只有當我們使用一致質量矩陣時，它才是正定的，并且與剛度矩陣有相同的半帶度。

我們在APOLANS程序里對疊片進行計算時，使用的計算方法子空間迭代算法，它是一種求解廣義特征問題局部的q個特征值及對應特征矢量的方法，它的基本步驟為：

（1）選取初始迭代矢量[X₁]

（2）對k=1，2……迭代

當特征值準確到25位數字時，收斂容差tol應為10^-25

（5）在迭代收斂后，利用斯圖姆序列檢驗已算出的是否為所要求的特征值和相應的特征矢量。若有漏根，是需停止求解，可通過加大q和減小tol的方法來繼續計算。

5.2  疊片聯軸器的振動模型

由于APOLANS程序的局限性，不能計算磨擦狀態下的振動問題，因而本文所討論的疊片振動問題將忽略磨擦對它的影響。我們應該以整個聯軸器來進行計算以確定其系統的特性，但由于程序本身的問題，不可能整個系統分毫不差地組成計算模型，因而必須對整個系統進行簡化，當然，如何簡化才是適當的對計算結果的正確性影響很大。

由第二章所示撓性疊片聯軸器的結構可知，兩端法蘭盤（連接主、從傳動軸）均可看做是剛固的，而中間軸法蘭a可看做是加在兩組疊片上的質量塊。

設中間軸質量為m，則加在左邊一組的質量為m/2，設一組疊片數為n片，在這里我們知道以疊片組中單片特性來進行強度分析與實際是較為符合的，這說明疊片組的剛度陣和質量陣與每一片的剛度陣和質量陣是相同的。而振動分析時是在強度分析的基礎上加阻尼陣和外力矩陣，因而在忽略阻尼的情況下可以借用強度模型，只不過要將集中質量化到單片上去，這樣每片所需加的集中質量為m/2n。

在實際工程中，我們進行振動分析是為了得到聯軸器振動時的頻率以避開共振區，而兩疊片組上對應疊片上的位移大小相等，方向相同或相反，即振動時兩疊片組的位移關于中間軸的中垂面是對稱或反對稱的，反對稱與對稱雖然振型不同，但它們的頻率是相等的，因此選取振動的對稱模型來計算疊片聯軸器的振頻和振型，雖然這樣會漏掉部分反對稱振型，但不會漏掉振頻，可以達到我們關注共振問題的目的。

5.3  算例

我們延用強度模型的算例，用上述模型算得其在沒有載荷時的1-6階振頻(見下表)，另外，我們還可以通過程序的動畫功能看到各階振動模態的形式，由此可知1階振動頻率最低2階和3階、4階和5階的振頻雖然相等，但橫態不同，1、3階的振動雖然類似，但其隨著階數的增加振動波數增多即駐點增多，模態也不同，

振頻階數	1	2	3	4	5	6
頻率Hz	97.1	157.9	157.9	159.3	159.3	160.2

對模型進行動頻分析時，先加上各種載荷進行非線性靜力分析，再在非線性靜力分析的基礎上進行頻率分析即可行到模型的動頻。下表為傳遞功率30KW，軸向位移為2mm，角向位移為1.5時和各階頻率。由此可知加載后，模型由于變形而使剛度增大，則振頻也增加。

振頻階數	1	2	3	4	5	6
頻率Hz	124.6	183.3	183.3	195.5	195.5	201.1

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