第3章 圓柱正弦活齒減速器模糊可靠性的研究
3.1引言
圓柱正弦活齒減速器可以應用在航天機械、采油裝置及機器人傳動等復雜的工作環境中，其可靠性的好壞直接影響生產的效率和安全，為此，對它進行可靠性研究具有十分重要的意義。圓柱正弦活齒減速器的可靠性研究應包括以下兩個方面：一方面是機械零部件本身的可靠度研究，即組成減速器系統的各個零部件完成所需功能的能力。另一方面是減速器樂統的可靠性研究。其中系統的可靠度還取決于系統中機械零部件組合的方式。
在圓柱正弦活齒減速器系統中，活齒與正弦滾道齒面的接觸方式為點接觸，則正弦滾道齒面與活齒的工作表面發生點蝕或膠合是該嚙合副的主要失效形式，對其進行接觸強度的可靠性研究，對提高齒面強度、降低失效概率具有非常重要的意義。接觸強度的點蝕破壞是由于損傷積累引起性能下降最終導致故障的出現，系統從完好到失效是一個循序漸進的過程，其間呈現出亦此亦彼的模糊狀態，因此在機械系統中隨機性與模糊性是密切相關的，本章將模糊數學方法和隨機方法結合起來，對圓柱正弦活齒傳動的接觸強度進行模糊可靠性分析，突破了常規設計方法中將應力、強度視為確定量而忽視其隨機性和模糊性的局限性，使設計結果更加合理，更為真實。
在系統可靠性研究方法中，故障樹分析（FTA）是一種用于復雜系統可靠性和安全性分析的有效方法，FTA是一種圖形演繹方法，能通過對可能造成系統故障的多種因素（包括軟件、硬件、環境、人為因素）進行分析，畫出邏輯框圖即故障樹，從而確定系統故障原因的各種可能組合方式或其發生概率。本章在分析圓柱正弦活齒減速器系統結構及功能關系的基礎上，建立圓柱正弦活齒減速器的故障樹，確定了系統的最小割集。將模糊數學引入傳統的故障樹分析中，根據建立的故障樹中各事件的邏輯關系，采用模糊數的運算法則及模糊算子AND和OR計算出系統以“輸出軸不傳遞扭矩”為故障的模糊概率值。
為體現真實工況下減速器系統的可靠性情況，在建立故障樹的基礎上，基于Monte-Carlo方法對圓柱正弦活齒減速器進行可靠性的數字仿真。由此得到了系統故障的可靠度、失效概率及壽命分布等一系列可靠性指標，并通過對基本部件模式重要度的分析，找出系統薄弱環節，對改進和重新設計系統具有很大約啟發性和指導性。
3.2圓柱正弦活齒傳動副的接觸強度模糊可靠性研究
在機械傳動系統中，由于受到彈性模量、幾何尺寸、載荷分配等因素的影響，各零件的工作應力均具有隨機性，對此可用統計的方法將其視為隨機變量來處理；另一方面，由于受到各種客觀條件的限制，傳動零件的接觸強度等設計變量難以精確定量，存在亦此亦彼的狀態，將這種變量處理為模糊變量，用模糊集合與隸屬函數來描述。考慮到應力和強度作為隨機變量和模糊變量，因此機誡傳動系統的強度設計可按模糊可靠性設計方法進行墓它突破了常規設計方法中將應力、強度視為確定量而忽視其隨機性和模糊性的局限性，使設計結果更加趨于合理，因此更為接近實際情況。
3.2.l接觸應力計算
圓柱正弦活齒傳動的嚙合副在載荷作用下，活齒分別與主動軸的外滾道及殼體的內滾道接觸，一般滾道半徑取r′= (1.04-1.11)r,r為活齒半徑。活齒與滾道的接觸問題，可看作兩自由曲面體的彈性接觸問題，根據赫茲（Hertz）應力理淪，在外加總載荷F作用下兩自由曲面彈性體的接觸應力計算公式為
ma、mb——與橢圓偏心率有關的系數，可根據∑k及F（k）查表得到；
F（k）——主曲率函數
；
∑k——主曲率和∑k=k11+k12+k21+k22，（1/mm）；
k11、k12——活齒齒面的兩個主曲率（1/mm）；
k21、k22——正弦滾道齒面的兩個主曲率（l/mm）。
由于嚙合副兩接觸面的材料相同，故選取彈性模量E1=E2=E，泊松比v1=v2=v。通過對圓柱正弦活齒傳動進行受力分析可知，在正弦滾道的拐點附近，活齒與滾道間的接觸力及接觸應力均達到最大值，因此活齒與正弦滾道齒面的最大接觸應力公式可寫為
3.2.2接觸強度的模糊可靠性研究
滾道齒面從完好狀態到失效狀態，其許用應力[σH]是一個漸進的衰減過程，為了更真實的反映[σH]的模糊性，本文采用降半正態分布的隸屬函數來表示[σH]。降半正態分布的隸屬函數為
式中 u（x)- [σH]的隸屬度；a、b為分布系數。
隸屬函數曲線如圖3-1。
將F、∑k視為隨機變量，并近似按“3σ”法求出其均值μF、μk與標準差SF、Sk，根據文獻，彈性模量E、泊松比v均為隨機變量，且近似服從正態分布，彈性模量的變異系數對鋼而言不超過0.03，即彈性模量的標準差為6180MMPa，而泊松比的變異系數一般在2%-3%左右，則泊松比的標準差為0.009。按可靠度計算的一次二階矩原理，將齒面接觸應力的表達式在基本變量的平均值點處展開成泰勒級數，僅取級數的線性項，則可近似求得應力的均值μa與標準差Sσ分別為：
應用數字仿真法求出零件的可靠度R，即在（O,1）內產生均勻分布的隨機數作為閾值λ1，并利用式（3-7）計算此時零件的可靠度Rλi，在仿真次數n足夠大時，零件的可靠度可表示為：
3.2.3圓柱正弦活齒傳動接觸強度的可靠性計算
圓柱正弦活齒減速器的結構和性能參數為Z1=1、Z3=4、A=4mm、r=4mm、輸出軸扭矩T=20N.m，其主要零件如活齒、主動軸、導架及殼體的材料選用GCr15，淬火后硬度為HRC=58～62，由于圓柱正弦活齒傳動采用二硫化鋁作為固體潤滑劑，考慮到二硫化鑰的最大抗壓強度為2800MPa，根據模糊數學中確定容差的擴增系數法，該傳動的主要零件的許用接觸應力選為2450～2800MPa。將上述參數代入式（3-4）、（3-5）中，求得主動軸正弦滾道與殼體正弦滾道接觸應力的均值和方差，再利用式（3-8)，仿真次數n選取2000次，計算圓柱正弦活齒傳動正弦滾道的接觸強度的可靠度見表3-1。
表3-1滾道接觸強度的可靠度
| |
均值（MPa） |
方差（MPa） |
可靠度 |
| 主動軸 |
2322.9 |
192.12 |
0.9744 |
| 殼體 |
2325.7 |
172.31 |
0.9781 |
| 導架 |
2284.4 |
300.51 |
0.9145 |
由表3-1可知，導架的接觸強度可靠度最低，是整個系統可靠性的薄弱環節。因此，在結構設計中，應盡量提高導架的接觸強度可靠度，以改善圓柱正弦活齒減速器系統的可靠性。
3.3減速器系統的模糊可靠性研究
故障樹分析是分析系統可靠性的一種方法，它根據系統的結構或功能關系，利用圖形演繹的方法把故障傳遞的邏輯關系表達出來，對此可逐級分析系統故障發生的原因，對系統進行故障概率的計算，以便采取相應的措施，來提高系統的可靠性。
3.3.1減速器系統故障樹的建立
根據圓柱正弦活齒減速器的結構及其實現的功能，采用自上而下的方法建立故障樹，首先選取“輸出軸不能傳遞扭矩”作為頂事件，然后找出導致頂事件的所有可能直接原因，作為第一級中間事件，用相應的事件符號將其表達出來，并用適合的邏輯門符號表示中間事件與頂事件之間的邏輯關系。依此類推，逐級向下發展，直到找出引起系統故障的全部原因，作為底事件，由此建立了圓柱正弦活齒減速器的故障樹（圖3-2）。
3.3.2減速器系統故障樹的分析
故障樹的分析包括定性分析和定量分析。定性分析的主要任務是尋找故障樹的全部最小割集和最小路集，一個最小割集代表系統的一種失效模式，一個最小路集代表系統一種正常模式。通過對最小割集和最小路集的研究，可以發現系統的薄弱環節和最關鍵的部分，以便針對具體對象采取相應的措施，有利于維持和提高系統的功能。本本文只討論系統的失效模式，故須尋找出故障樹的最小割集即可。根據對圓柱正弦活齒減速器的故障樹分析得出最小割集為{xi}，i=1，2…，15。他們分別對應系統15種失效模式。
故障樹的定量分析是運用故障樹中建立的邏輯關系，根據底事件發生的概率推導出頂事件發生的概率，從而對系統的可靠性、安全性作出評價。故障樹中各種事件間的因果關系用各種“門”來描述，并且大多可以等效為邏輯“與門”和“或門”。根據“與門”和“或門”所表示的事件關系，并假設各個事件互相獨立，根據表3-2即可計算活齒減速器中各中間事件和頂事件的發生概率。
表中 P（T）——頂事件發生概率；
P（xi）——底事件發生概率，i=1，2，…，15；
P（Gi）——中間事件發生概率。i=1，2，…，9。
3.3.3圓柱正弦活齒減速器的模糊故障樹分析
故障樹分析重要的環節是獲得事件發生的概率。傳統的故障樹分析以布爾代數為基礎，把事件發生的概率處理成精確值，然而由于實際工作環境的模糊性及數據的不精確，會對確定事件的概率產生影響，因此難以用一精確值來表示事件發生的概率。在傳統故障樹分析中，當事件發生的概率難以精確賦值時，可對故障樹進行模糊分析。
3.3.3.1模糊分析的理論基礎 在故障樹的模糊分析中，采用模糊數來描述事件發蘭的概率。模糊數是由概念上的模糊性或各種模糊因素的影響而造成定量處理時的不確定性。以模糊數描述概率值，帶有人的主觀性，強調了人在系統可靠性分析與評價中的重要性。因此，故障樹的模糊分析不僅可減少獲取事件發生概率精確值的難度，而且能結合工程中的實際經驗和判斷構造模糊數為隸屬函數，較準確地把它們描述出來，并在一定程度上允許存在描述誤差，具有較大的靈活性和適應性。
定義1 模糊數
為實數域R上的正規凸模糊集，其隸屬函數滿足
（1）maxμ（x）=1 x∈R
（2）μ（x）是逐段連續的
定義2 若模糊數的隸屬函數滿足
則稱模糊數為L-R型模糊數，L(x）、R(x）稱為模糊數的左、右參照函數。工程中，模糊數隸屬度為1的數通常只有一點，因此模糊數可表示=（m，a，β）。其中m是模糊數的均值，對應隸屬度為l的數；a、β分別為左、右分布；當a、β為零時，不是模糊數。分布a、β越大，越模糊。
常用的L-R參照函數為：
線性型參照函數在“完全屬于”和“完全不屬于”之間的中介狀態是線性變化的（圖3-3a），當x≤m-α和x≥m+β時，μ=0，說明在（m-α，m+β）區間之外的數值完全不屬于該模數數。而其他兩種類型的隸屬函數曲線兩端延伸至無窮遠（圖3-3b，c）說明整個數軸上的任何數總在一定程度上隸屬于該模糊數。在選擇參照函數時，除非有絕對的把握認為該事件發生的概率在某個范圍之內而選擇線性參照函數，否則，以選取正態型或尖型為好。
模糊數的代數運算法則如下：
加法：（m，α，β）LR+（m+n，α+γ，β+δ）LR （3-13）
式（3-15）、（3-16）是近似的，嚴格地說，兩個L-R型模糊數葙乘或相除，其結果不再是L-R型模糊數。
3.3.3.2模糊算子AND和OR模糊算子AND和OR反映了“與門”和“或門”的模糊邏輯運算。對于“與門”，其模糊算子為：
3.3.3.3圓柱正弦活齒減速器故障樹分析 根據圓柱正弦活齒減速器故障樹，用模糊算子ACD和OR描述基本事件間的邏輯關系，生成值值函數的模糊形式及用模糊算子表達的形式見表3-3。
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